{
    \parindent=1cm
    \begin{tabular}{l@{\extracolsep{1cm}}l}
         Идея: & Геннадий Короткевич \\
         Разработка: & Никита Голиков \\
     \end{tabular}
}

Мы легко можем сделать нагрузку равной $0$ на всех серверах, поэтому дальше при поиске ответа лучшего, чем $0$, будем считать, что нагрузка на каждом сервере всегда должна оставаться строго положительной.

Заметим, что применив операцию к каждому серверу, мы понизим нагрузку каждого сервера на $3$. Таким образом, если существует ответ, в котором итоговая нагрузка каждого сервера равна $x$, то существует и ответ, в котором итоговая нагрузка равна $x \operatorname{mod} 3$ (или $3$, если $x$ делится на $3$). Решим задачу для каждого остатка по модулю $3$ независимо и выберем максимальный ответ.

Пусть мы хотим, чтобы в итоге все нагрузки равнялись $r$ ($1 \le r \le 3$). Обозначим за $x_i$ количество операций, проделанных над сервером $i$. Тогда итоговая нагрузка на сервере $i$ равняется $a_i - 2x_i - x_{i + 1}$, если $i < n$, иначе $a_n - 2x_n - x_1$. Каждая итоговая нагрузка должна равняться $r$, что приводит нас к системе уравнений.

Перепишем уравнения следующим образом: $x_{i + 1} = a_i - 2x_i - r$. Это позволяет нам выразить $x_{i + 1}$ через $x_i$. Выразим все $x_i$ через $x_1$ следующим образом: скажем, что $x_i = k_i x_1 + b_i$. Для $i = 1$ получаем $k_1 = 1, b_1 = 0$, для $i \ge 2$ подставим выражение для $x_{i - 1}$ в уравнение для $x_i$. Теперь, используя уравнение для $x_1$, мы получаем, что $x_1 = a_1 - 2k_n x_1 - 2b_n - r$, из чего можно выразить $x_1$ как $\frac{a_1 - 2b_n - r}{2k_n + 1}$. Используя найденное $x_1$, можно вычислить все остальные $x_i$.

Для того чтобы найти максимальную возможную нагрузку для данного остатка, сделаем следующее: найдя $x_i$, проверим, что все итоговые значения действительно равны $r$. Если это так, то для нахождения максимальной нагрузки поступим следующим образом: пусть минимальное $x_i$ равняется $m$, тогда, вычтя из всех $x_i$ число $m$, мы получим корректный ответ. Тогда максимальное значение нагрузки для данного остатка равняется $r + 3m$.

В данном решении возникает проблема с переполнением, так как коэффициенты $k_i$ и $b_i$ становятся слишком большими. Чтобы решить эту проблему, поступим следующим образом: заметим, что все $x_i$ целые, неотрицательные и не превосходят $10^9$, тогда решим систему над полем остатков по модулю $10^9 + 7$. Заметим, что $k_i = (-2)^{i - 1}$, и для $i \le 2 \cdot 10^5$ это значение никогда не равно $-1$ по модулю $10^9 + 7$, поэтому деление на $2k_n + 1$ всегда корректно. Получаем решение за $O(n)$.